[ Operações ] Potencias - aula 1 -

Quando um número é multiplicado por ele mesmo,
dizemos que ele está elevado ao quadrado, e escrevemos assim:
a · a = a² (sinal de mutiplicação · )
Se um número é multiplicado por ele mesmo várias vezes, temos uma
potência.
a · a · a = a³ (a elevado a 3 ou a ao cubo)
3 fatores
a · a · a· a = a⁴ (a elevado a 4)
4 fatores

De uma forma geral, se o fator a aparece n vezes escrevemos an (a elevado a
n). O número a é a base da potência e n é o expoente.
Nas ciências, para escrever números muitos grandes ou muito pequenos
usamos potências. Por exemplo, um bilhão é o número 1.000.000.000, que é
igual a:
10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10⁹

Os astrônomos medem as distâncias entre as estrelas em uma unidade
chamada ano-luz, que é a distância percorrida pela luz durante um ano. Essa
imensa distância vale, aproximadamente, 9.500.000.000.000 km, ou seja, nove
trilhões e quinhentos bilhões de quilômetros. Para facilitar, escrevemos esse
número assim:
1 ano-luz = 9,5 · 10¹² km
Acontece que essa distância é ainda pequena se olharmos para o universo
conhecido. A estrela mais próxima de nós (que está na constelação do Centauro)
fica a 4 anos-luz de distância. Mas, existem estrelas que estão a bilhões de anos luz
de distância de nós. Imagine que número gigantesco deve representar essa
distância em quilômetros. Podemos então perceber que só é prático representar
números desse tamanho usando potências e, além disso, é preciso saber fazer
cálculos com elas.

O produto de potências de mesma base

Começamos com um exemplo. Vamos multiplicar a⁴ por a³

Como cada expoente representa o número de fatores então o número total
de fatores é a soma dos expoentes. Concluímos então que para multiplicar
potências de mesma base devemos conservar a base e somar os expoentes. Esse
resultado, escrito de forma geral, fica assim:

a^m · aⁿ = a^{m + n}


A divisão de potências de mesma base

Começamos também com um exemplo para descobrir o caso geral. Vamos
dividir a⁶ por a².

Cada fator do denominador é cancelado com um fator do numerador. Então
o número de fatores do resultado é a diferença entre o número de fatores do
numerador e o número de fatores do denominador. Concluímos então que, para
dividir potências de mesma base, devemos conservar a base e subtrair os
expoentes. Esse resultado, escrito de forma geral fica assim:

a^m
aⁿ = a^m-n

Observação: Nesta identidade existe uma restrição para a letra a: ela pode
representar qualquer número, exceto o zero. Isso acontece porque é impossível
a divisão por zero.